Logiciels de calcul symbolique

(par Philippe Etchecopar, professeur de mathématiques du Cégep de Rimouski)

Avec le nouveau programme Sciences de la nature, l'utilisation des logiciels de calcul symbolique tend à se répandre dans le réseau collégial. Ces logiciels (Maple, Mathematica, Mathcad, Macsyma, Mathlab, etc.), de plus en plus puissants, offrent de nombreuses possibilités et il y a de multiples façons de les intégrer dans ses cours.

Le but de ce dossier est d'abord de fournir une introduction à certains de ces logiciels, de présenter plusieurs exemples d'utilisation de ces logiciels dans les établissement collégiaux et de susciter des échanges entre les professeurs.

Introduction
Guides d'utilisation de logiciels de calcul symbolique
Exemples d'activités pédagogiques
Liens intéressants
Groupe d'intérêt

Introduction

Le développement des technologies de l'informatique et des communications

Le monde des sciences a été bouleversé par le développement exponentiel de l'informatique. La loi de Moore, qui s'est vérifiée depuis une vingtaine d'années, indique que la puissance des ordinateurs double tous les dix huit mois. Cette montée en puissance des appareils a entraîné un développement exponentiel, tant en nombre qu'en puissance, des logiciels scientifiques. Des logiciels qui, il y a quelques années, étaient réservés aux centres de recherches sont maintenant accessibles à tous. Ils vont profondément bouleverser tant le travail en sciences que l'enseignement de celles-ci.

Les logiciels de calcul symbolique

Les premiers ordinateurs, et les langages qu'ils utilisaient, effectuaient des calculs numériques. Ils pouvaient, par exemple, résoudre l'équation x2-5x+6=0 et ils indiquaient les solutions : x=2 et x=3. Les logiciels de calcul symbolique, permettent, eux, de travailler avec des valeurs algébriques. Ils peuvent résoudre l'équation générale ax2+bx+c=0 et ils donnent la solution générale. Ils peuvent aussi effectuer de nombreuses opérations mathématiques, comme la dérivation, l'intégration, etc. Le fait de pouvoir travailler sur des formes algébriques facilite la compréhension de la nature de ces opérations, ce qui est d'un grand intérêt en enseignement.

Ces logiciels sont aussi qualifiés de logiciels de calcul formel, de calcul algébrique ou même de calcul analytique.

Maple et Mathematica

Les logiciels de calcul symbolique se sont multipliés ces dernières années. On en retrouve même sur les calculatrices programmables. Dans ce dossier, nous présenterons surtout des exemples utilisant les logiciels Maple et Mathematica.

Ces deux logiciels sont parmi les plus répandus. Mathematica a été développé dans les années 1980 par une équipe américaine animée par Stephen Wolframm. Maple, pour sa part, a été développé également dans les années 1980 mais grâce à une collaboration entre les universités de Waterloo au Canada et Zurich en Suisse.

Nous insisterons sur Maple car c'est actuellement le logiciel le plus utilisé au Québec tant dans les universités que dans les établissements collégiaux. En dehors de ces deux logiciels il en existe bien d'autres comme Mathlab, Mathcad, Macsyma, etc.

En fait, comme dans le cas de logiciels dédiés à une même tâche, ils présentent beaucoup d'analogies et les connaissances acquises sur l'un d'entre eux sont généralement transférables.

Le nouveau programme Sciences de la nature

Le nouveau programme Sciences de la nature prévoit explicitement l'utilisation de l'ordinateur. Un des douze objectifs s'écrit comme suit :

Utiliser les technologies appropriées du traitement de l'information :

1. Utiliser l'ordinateur et ses principaux périphériques ;
2. Utiliser les principaux types de logiciels de traitement de l'information : traitement de texte, traitement de données, traitement de l'image, logiciels spécialisés, etc.

En fait ces logiciels sont utilisés dans les universités et dans quelques établissements collégiaux depuis le début des années 1990. Ils tendent aujourd'hui à se généraliser dans le programme de Sciences de la nature du réseau collégial et les manuels qui paraissent en mathématiques prévoient de plus en plus l'utilisation d'un de ces logiciels, Maple le plus souvent.

Guides d'utilisation de logiciels de calcul symbolique

Guide d'utilisation de Maple (Introduction) (Guy Jomphe, École Polytechnique)

Programmer avec Maple (version PDF, Philippe Etchecopar, Cégep de Rimouski)

- Complément au guide Maple, (version PDF), (manuel d'initiation à Maple 5 utilisé par les élèves
pour le cours Calcul différentiel (201-NYA), Céline St-Pierre, Cégep de Rimouski).

Exemples d'activités pédagogiques

Voici quelques exemples d'utilisation de logiciels de calcul symbolique disponibles grâce à la générosité de professeurs du réseau collégial. Si vous souhaitez collaborer, soumettez votre matériel à Philippe Etchecopar pour le partager avec d'autres professeurs !

Afin d'uniformiser la présentation des activités, veuillez SVP utiliser le devis de présentation.

NOTE : Pour visualiser et imprimer les fichers en format PDF, vous devez utiliser un utilitaire de visualisation comme celui de la compagnie Adobe (Acrobat Reader). Vous pouvez télécharger le logiciel Acrobat Reader 4.0 gratuitement à partir du site de la compagnie Adobe, en français ou en anglais.

Pour installer et configurer cet utilitaire, veuillez suivre les instructions fournies par la compagnie Adobe.

Approches pédagogiques utilisant Maple

Démarche de modélisation en mathématiques, Philippe Etchecopar et Céline Saint-Pierre, Cégep de Rimouski. Dans le recuei Coffre aux trésors pédagogiques en sciences au collégial, vol. 1.

Calcul différentiel (NYA)

Programmer la linéarisation d'une fonction avec Maple, (version PDF),
Philippe Etchecopar, Cégep de Rimouski.

Exercice sur Continuité et limite avec Maple, (version PDF), Philippe Etchecopar, Cégep de Rimouski.

Programmer les racines de l'équation du second degré avec Maple, (version PDF),
Philippe Etchecopar, Cégep de Rimouski.

Problème sur la définition et la représentation de la tangente à une fonction
avec Maple, (version PDF), Philippe Etchecopar, Cégep de Rimouski.

Programmer la suite des nombres de Fibonacci avec Maple, (version PDF),
Philippe Etchecopar, Cégep de Rimouski.

Programmer une fonction définie par morceaux avec Maple, (version PDF),
Philippe Etchecopar, Cégep de Rimouski.

Démonstrations : graphique d'une fonction définie par morceaux, étude d'une limite, courbe avec tangente et animation sécantes vers tangente avec Mathematica de Jacques Marion, site Internet du Collège Montmorency (section : Logiciels de calcul symbolique).

Les limites de vitesse par Ariel Franco du Cégep régional de Lanaudière (dans le recueil Étincelles pédagogiques en sciences au collégial, vol. 4).

Calcul intégral (NYB)

Démonstration d'une surface engendrée par la rotation d'un arc de courbe autour d'un axe horizontal avec Maple, (version PDF), Gaétan Beaudoin, Cégep de Rimouski.

Exercice sur la détermination de primitives avec Mathematica (document PDF). Norbert Verdier, Institut Universitaire de Technologie de l'Université de Paris-Sud. Extrait du manuel Faire des maths avec Mathematica paru en 2001 dans la collection Technosup des éditions Ellipses.

Illustration de sommes de Riemann et démonstation de calcul de régions entre deux courbes et de calcul d'aire avec Mathematica par Jacques Marion, site Internet du Collège Montmorency (section : Logiciels de calcul symbolique).

Site de Pierre Lantagne, professeur de mathématiques au Collège de Maisonneuve. Il est l'auteur d'un manuel sur Maple et propose sur son site des documents pour les cours d'algèbre linéaire et géométrie vectorielle, de calcul intégral et de calcul avancé de Sciences de la nature. En cliquant sur Maple, vous retrouverez des feuillles Maple pour NYB. Il y a aussi de nombreuses démonstrations sur des surfaces et des volumes de révolution.

Algèbre linéaire et géométrie vectorielle (NYC)

Initiation au logiciel mathématique Mathcad, notions d'algèbre linéaire, Daniel Ritchie, Cégep de l’Abitibi-Témiscamingue. Dans le recueil Étincelles pédagogiques en sciences au collégial, vol. 2.

Démonstration de calcul matriciel avec Mathematica par Jacques Marion, site Internet
du Collège Montmorency (section : Logiciels de calcul symbolique).

Site de Pierre Lantagne, professeur de mathématiques au Collège de Maisonneuve. Il est l'auteur d'un manuel sur Maple et propose sur son site des documents pour les cours d'algèbre linéaire et géométrie vectorielle, de calcul intégral et de calcul avancé de Sciences de la nature. En cliquant sur Maple, vous retrouverez des feuillles Maple pour NYC. Il y a aussi de nombreuses démonstrations sur des surfaces et des volumes de révolution.

Stéréogrammes sur Excel par Vincent Papillon, Collège Jean-de-Brébeuf. Dans le recueil Étincelles pédagogiques en sciences au collégial, vol. 3. Les élèves, en équipe, conçoivent et numérisent un ou plusieurs objets 3D et calculent sur Excel leurs projections centrales 2D d’où ils obtiennent les dessins en perspective pour chaque œil.

Laboratoires Maple d'algèbre linéaire par Claude Saint-Hilaire, Collège de Bois-de-Boulogne. Dans le recueil Étincelles pédagogiques en sciences au collégial, vol. 3. Cahier de laboratoire couvrant les notions d'algèbre linéaire et vectorielle (15 laboratoires, 5 travaux et un travail de session). Les laboratoires permettent de vérifier la capacité d’exécuter, avec Maple, des exercices analogues à ceux qu’on retrouve dans les livres d’algèbre linéaire. Les travaux sont des exercices plus difficiles mathématiquement et, en général, ne peuvent être faits sans l’aide d’un logiciel de calcul symbolique.

Note : Étant donné l'ampleur du travail et nos ressources limitées, nous n'avons pas pu réviser les fichiers du cahier de laboratoire.

Guide pédagogique (version PDF)

Cahier de laboratoire (version PDF)

Table des matières (version PDF) :

• Laboratoire 1 : Préliminaires (PDF, Word, Maple)
• Travail 1 - Laboratoire 1 - Préliminaires (PDF, Word, Maple)
• Laboratoire 2 : Les vecteurs-1 (PDF, Word, Maple)
• Laboratoire 3 : Produit scalaire de vecteurs (PDF, Word, Maple)
• Laboratoire 4 : Matrices (PDF, Word, Maple)
• Travail 2 - Preuves par récurrence (induction) avec des matrices (PDF, Word, Maple)
• Laboratoire 5 : L'inverse d'une matrice et transposée d'une matrice (PDF, Word, Maple)
• Laboratoire 6 : Méthode d’élimination de Gauss (PDF, Word, Maple)
• Complément 6B : Avantage de la méthode d’élimination de Gauss ; étude d’un cas (PDF, Word, Maple)
• Laboratoire 7 : La méthode de Gauss-Jordan (PDF, Word, Maple)
• Laboratoire 8 : La méthode d’élimination de Gauss, étape par étape (PDF, Word, Maple)
• Laboratoire 9 : Les vecteurs-2. Indépendance linéaire et ensemble générateur (PDF, Word, Maple)
• Laboratoire 10 : Bases (PDF, Word, Maple)
• Travail 3 - Carrés magiques (PDF, Word, Maple)
• Laboratoire 11 : Produit vectoriel de vecteurs et produit mixte, dans R^3 (PDF, Word, Maple)
• Laboratoire 12 : Droites dans l’espace -1 (PDF, Word, Maple)
• Travail 4 – Droites (PDF, Word, Maple)
• Laboratoire 13 : Droites-2 (PDF, Word, Maple)
• Laboratoire 14 : Plans dans l’espace (PDF, Word, Maple)
• Laboratoire 15 : Plans et droites (PDF, Word, Maple)
• Travail 5 : Plans et droites (PDF, Word, Maple)
• Travail de session : Une application d'un changement de base et erreurs d'arrondis (PDF, Word, Maple)
• Annexe 1 : Méthode de la matrice inverse (PDF, Word, Maple)
• Annexe 2 : Extraire une base (PDF, Word, Maple)
• Réponses (PDF, Word, Maple)
  

Algèbre linéaire (201-704-RE)

Courbe de Bézier et système PostScript, Nicolas Pfister, Collège de Sherbrooke. Dans le recueil Étincelles pédagogiques en sciences au collégial, volume 2.

Calcul différentiel et intégral III

Problème étudiant le mouvement d'un métronome avec Maple, (version PDF), Philippe Etchecopar, Cégep de Rimouski.

Exercice sur la détermination de primitives avec Mathematica (document PDF). Norbert Verdier, Institut Universitaire de Technologie de l'Université de Paris-Sud. Extrait du manuel Faire des maths avec Mathematica paru en 2001 dans la collection Technosup des éditions Ellipses.

Site de Pierre Lantagne, professeur de mathématiques au Collège de Maisonneuve. Il est l'auteur d'un manuel sur Maple et propose sur son site des documents pour les cours d'algèbre linéaire et géométrie vectorielle, de calcul intégral et de calcul avancé de Sciences de la nature. En cliquant sur Maple, vous retrouverez des feuillles Maple et des laboratoires pour le cours de calcul différentiel et intégral III. Il y a aussi de nombreuses démonstrations sur des surfaces et des volumes de révolution.

Calcul avancé

C'est au point..., Raymond Hamel, Cégep de Limoilou. Dans le recueil Étincelles pédagogiques en sciences au collégial, volume 2.

Projet de fin d'études

Regard vectoriel sur le grincement de dents, Nicolas Pfister et Marie-Jane Haguel, Collège de Sherbrooke. Dans le recueil Étincelles pédagogiques en sciences au collégilal, vol. 1.

Physique

Mouvement ondulatoire et mouvement d'un projectile par Gilles Vaillancourt, site Internet
du Collège Montmorency (section : Logiciels de calcul symbolique, exemple en ESZ).

Introduction à MathCad plus 6.0 avec quelques exemples d'utilisation (mouvement uniforme accéléré, analyse de points expérimentaux et graphique d'une fonction). Département de physique du Cégep de Saint-Jérôme.

Les Ondes, les séries de Fourier et la musique, André Blais, Collège André-Grasset. Dans le recueil Coffre aux trésors pédagogiques en sciences au collégial, vol. 2.

Liens intéressants

Dans la section Technologies de l'information et des communications en enseignement des mathématiques, vous y trouverez des liens vers les sites des logiciels Maple et Mathematica, vers des sites suscitant la réflexion sur la place de l'informatique en mathématiques et vers des sites présentant des exemples de problèmes avec les logiciels de calcul symbolique.

Il y en a probablement beaucoup d'autres, nous vous invitons à les signaler à Philippe Etchecopar. Vous pouvez aussi en profiter pour lui signaler les professeurs qui utilisent ces logiciels et qui accepteraient de déposer quelques exemples sur le site Internet du Saut Quantique.

Groupe d'intérêt

Vous pouvez vous joindre au groupe d'intérêt sur l'utilisation de logiciels de calcul symbolique animé par Philippe Etchecopar, professeur de mathématiques du Cégep de Rimouski, en communiquant avec lui.