{VERSION 4 0 "IBM INTEL NT" "4.0" } {USTYLETAB {CSTYLE "Maple Input" -1 0 "Courier" 0 1 255 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "2D Math" -1 2 "Times" 0 1 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "2D Comment" 2 18 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 } {CSTYLE "" -1 256 "" 0 14 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 257 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 258 "" 1 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 259 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 260 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 } {CSTYLE "" -1 261 "" 1 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 262 "" 1 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 263 "" 0 14 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 264 "" 0 14 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 265 "" 0 14 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 } {CSTYLE "" -1 266 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 267 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 268 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 269 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 270 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 } {CSTYLE "" -1 271 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 272 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 273 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 274 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 275 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 } {CSTYLE "" -1 276 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 277 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 278 "" 1 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 279 "" 1 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 280 "" 1 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 } {CSTYLE "" -1 281 "" 1 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 282 "" 0 14 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 283 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 284 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 }{PSTYLE "Normal" -1 0 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 12 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Heading 1 " -1 3 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 18 0 0 0 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 8 4 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Heading 2" -1 4 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 14 0 0 0 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 8 2 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Normal" -1 256 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 12 0 0 0 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Normal" -1 257 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 12 0 0 0 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 }3 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Normal" -1 258 1 {CSTYLE "" -1 -1 "T imes" 1 14 0 0 0 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 }3 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 } {PSTYLE "Normal" -1 259 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 12 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }3 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Heading 1" -1 260 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 12 0 0 0 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 8 4 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Heading 1" -1 261 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 12 0 0 0 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 }3 1 0 0 8 4 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Heading 1" -1 262 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 18 0 0 0 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 }3 1 0 0 8 4 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Heading 2 " -1 263 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 12 0 0 0 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 } 1 1 0 0 8 2 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Heading 1" -1 264 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 18 0 0 0 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 8 4 1 0 1 0 2 2 0 1 }} {SECT 0 {EXCHG {PARA 259 "" 0 "" {TEXT 260 45 "Travail 3 - Laboratoir e 10 - Carr\351s magiques" }}}{EXCHG {PARA 259 "" 0 "" {TEXT -1 52 "Pa r Claude St-Hilaire, claude.sthilaire@videotron.ca" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 42 "restart:with(linalg):with(student,equate): " }}}{SECT 1 {PARA 260 "" 0 "" {TEXT 256 78 "Exprimer un carr\351 magi que 3x3 comme combinaison de 3 carr\351s magiques A, B et C" }{TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 142 "A:=matrix(3,3,[1, 1,1,1,1,1,1,1,1]):B:=matrix(3,3,[1,2,3,4,2,0,1,2,3]):C:=matrix(3,3,[1, 1,10,13,4,-5,-2,7,7]):A=evalm(A),B=evalm(B),C=evalm(C);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT 257 120 "Exprimons le carr\351 magique E comme c ombinaison des carr\351s magiques A, B et C, c'est-\340-dire, r\351sol vons E = xA + y*B + z*C" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 35 " E:=matrix(3,3,[4,9,2,3,5,7,8,1,6]);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 23 "CL:=evalm(x*A+y*B+z*C);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 13 "equate(CL,E);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 17 "solve(%,\{x,y,z\});" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 10 "On a E = " }{XPPEDIT 18 0 "1/3;" "6#*&\"\"\"F$\"\"$!\"\"" }{TEXT -1 10 "A + 5B + " }{XPPEDIT 18 0 "-4/3;" "6#,$*&\"\"%\"\"\"\"\"$!\"\"F(" } {TEXT -1 1 "C" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 24 "Autre mani\350re de faire :" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 50 "equations:=s eq(seq(CL[i,j]=E[i,j],i=1..3),j=1..3);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 27 "solve(\{equations\},\{x,y,z\});" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}}{SECT 1 {PARA 264 "" 0 "" {TEXT 258 64 " Montrons que forme une base pour les carr\351s magiques 3x3" } }{EXCHG {PARA 256 "" 0 "" {TEXT -1 56 "A) Montrons que A, B et C sont \+ lin\351airement ind\351pendants" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 23 "CL:=evalm(x*A+y*B+z*C);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 29 "nulle:= matrix(3,3,(i,j)->0);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 17 "equate(CL,nulle);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 17 "solve(%,\{x,y,z\});" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 55 "Les carr\351s magiques sont donc lin\351airement ind\351pendant s" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 256 " " 0 "" {TEXT -1 66 "B) Montrons que A, B et C sont g\351n\351rateurs d es carr\351s magiques 3x3" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 129 "Con struisons un carr\351 magique quelconque en cr\351ant d'abord une matr ice M dont la somme est s pour chaque ligne et chaque colonne." }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 75 "M:=matrix(3,3,[x1,x2,s-x1-x2 ,x3,x4,s-x3-x4,s-x1-x3,s-x2-x4,x1+x2+x3+x4-s]);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 128 "On a 5 variables, x1, x2, x3, x4, et s. Pour que M \+ soit un carr\351 magique, il faut aussi que la somme des 2 diagonales \+ soit s : " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 57 "eq1:=M[1,1]+M [2,2]+M[3,3]=s;\neq2:=M[3,1]+M[2,2]+M[1,3]=s;" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 117 "On peut \351liminer 2 variables en r\351solvant les 2 \351quations eq1 et eq2 par rapport \340 2 variables, par exemple s e t x4, " }}}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT 261 35 "On a plusieurs choix, mais pas tous" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 55 "genmatrix( [eq1,eq2],[x2,x3,x1,x4,s],flag);gausselim(%);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 198 "On peut prendre x1,x4 ou x1,s, ou x2,x4 etc, mais pas x1,x2 ou x1,x3 ou x2,x3. Si on remplace une variable de eq1 dans eq2 \+ alors la deuxi\350me variable choisie doit appara\356tre dans l'\351qu ation obtenue." }}}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 24 "solve(\{ eq1,eq2\},\{s,x4\});" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 82 "Car reMagique:=subs(%,op(M));# on remplace dans M, x4 et s par les valeurs trouv\351es" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 208 "CarreMagique rep r\351sente un carr\351 magique quelconque dans lequel on a 3 variables x1, x2, x3 qui peuvent prendre des valeurs quelconques. Montrons que \+ CarreMagique s'exprime comme combinaison lin\351aire de A,B,C" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 40 "equate(CarreMagique,CL);#CL: =x*A+y*B+z*C" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 17 "solve(%,\{x ,y,z\});" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 134 "On a une solution un ique quelque soient les valeurs des variables x1, x2 et x3, donc Carre Magique est combinaison lin\351aire de A,B et C" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 70 "De A) et B), on a forme une base pour les ca rr\351s magiques 3x3." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" } }}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 265 "Remarque : On aurait pu remplac er dans M, x4 par s/3 car la somme des 2 diagonales + deuxi\350me colo nne = 3s et cette somme est aussi \351gale \340 la premi\350re ligne + 3x4 + la troisi\350me ligne D'o\371 s + 3x4 + s = 3s donc x4 = s/3 ma is le proc\351d\351 pr\351c\351dent est plus g\351n\351ral. " }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 171 "Remarque : la mani\350re de proc \351der ici avec les carr\351s magiques 3x3 nous sugg\350re une m\351t hode pour construire une base pour les carr\351s magiques nxn. Voir ap r\350s le travail : " }{TEXT 259 91 "Enrichissement :M\351thode pour l a construction d'une base pour les carr\351s magiques NxN o\371 N>2" } }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{SECT 1 {PARA 264 "" 0 "" {TEXT 262 7 "Travail" }}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT 282 5 "No 1)" }{TEXT -1 32 " Exprimer le carr\351 magique F = " }{XPPEDIT 18 0 "matrix([[1 2, 32, 25], [36, 23, 10], [21, 14, 34]]);" "6#-%'matrixG6#7%7%\"#7\"#K \"#D7%\"#O\"#B\"#57%\"#@\"#9\"#M" }{TEXT -1 53 " comme combinaison l in\351aire de A,B et C suivantes :" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 142 "A:=matrix(3,3,[1,1,1,1,1,1,1,1,1]):B:=matrix(3,3,[1, 2,3,4,2,0,1,2,3]):C:=matrix(3,3,[1,1,10,13,4,-5,-2,7,7]):A=evalm(A),B= evalm(B),C=evalm(C);" }}}{SECT 1 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT 278 31 "Espace \+ de travail de l'\351tudiant" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 " > " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" } {TEXT 263 5 "No 2)" }{TEXT -1 25 " Les carr\351s magiques A1= " } {XPPEDIT 18 0 "matrix([[-170, -110, -113], [-74, -131, -188], [-149, - 152, -92]]);" "6#-%'matrixG6#7%7%,$\"$q\"!\"\",$\"$5\"F*,$\"$8\"F*7%,$ \"#uF*,$\"$J\"F*,$\"$)=F*7%,$\"$\\\"F*,$\"$_\"F*,$\"##*F*" }{TEXT -1 8 " , B1 = " }{XPPEDIT 18 0 "matrix([[-140, 388, -17], [200, 77, -46], [171, -234, 294]]);" "6#-%'matrixG6#7%7%,$\"$S\"!\"\"\"$)Q,$\"#\"$j#\"$I$7%\"$x#\"$- $\"$5#" }{TEXT -1 36 " sont-ils lin\351airement ind\351pendants?" }}} {SECT 1 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT 279 31 "Espace de travail de l'\351tudia nt" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 " " }}}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }{TEXT 264 5 "No 3)" } {TEXT 274 3 " a)" }{TEXT -1 88 " Trouver le carr\351 magique E dont (3 ,-2,1) sont les composantes dans la base et " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 275 2 "b)" }{TEXT -1 58 " Exprimer ce carr\351 magique trouv \351 dans la base ." }}}{SECT 1 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT 280 31 "Espace de travail de l'\351tudiant" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }{TEXT 265 5 "No 4)" }{TEXT -1 1 " " }{TEXT 276 3 " a)" }{TEXT -1 45 " Trouver 5 carr\351s magiques 3x3 de somme 100. " }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT 277 2 "b)" }{TEXT -1 114 " Peut-on trouver une b ase pour les carr\351s magiques 3x3 de somme 100 ? Si oui, trouvez-en \+ une, sinon dire pourquoi." }}}{SECT 1 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT 281 31 "Es pace de travail de l'\351tudiant" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}}}{SECT 1 {PARA 260 "" 0 "" {TEXT 266 92 "Enrichissement :M\351thode pour la construction d'une ba se pour les carr\351s magiques NxN o\371 N>2 " }{TEXT -1 0 "" }} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 21 "restart:with(linalg):" }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 50 "Cr\351ons d'abord une matrice nxn \+ avec nxn variables " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 5 "n:=4; " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 35 "M:=matrix(n,n,(i,j)->x[ n*(i-1)+j]);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 107 "Au d\351but on a variables n^2 variables dans la matrice nxn, plus la variable s donc \+ n^2+1 variables. Comme, " }{TEXT 268 54 "la somme de chaque ligne et c haque colonne doit \352tre s" }{TEXT -1 219 ", on peut \351liminer les variables qui sont a) sur la derni\350re ligne et b) la derni\350re c olonne. Il restera (n-1)(n-1) variables dans la matrice et avec la var iable s, on aura alors (n-1)(n-1) + 1 = n^2 - 2n +2 variables. " }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 83 "a) \311liminons les variables de l a derni\350re colonne sauf celui de la derni\350re ligne :" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 56 "for i from 1 to n-1 do M[i,n]:=s-su m(M[i,k],k=1..n-1)od;" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 55 "b) \311l iminons toutes les variables de la derni\350re ligne:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 54 "for j from 1 to n do M[n,j]:=s-sum( M[k,j],k=1..n-1)od;" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 9 "evalm (M):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 14 "i:='i':j:='j':" }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 56 "On a maintenant (n-1)(n-1) + 1 = n ^2 - 2n +2 variables. " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 54 "v ar:=\{seq(seq(M[i,j], j= 1..n-1),i=1..n-1)\} union \{s\};" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 171 "On peut \351liminer 2 autres variables c ar pour que M soit un carr\351 magique, il faut aussi que la somme de \+ chacune des 2 diagonales soit \351gale \340 s. On aura alors n^2 - 2n = " }{TEXT 283 16 "n(n-2) variables" }{TEXT -1 1 "." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 71 "eq1:=sum(M[i,i],i=1..n)=s;# ou trace(M); \neq2:=sum(M[n-j+1,j],j=1..n)=s;" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 82 "R\351solvons ces 2 \351quations par rapport \340 2 variables, par \+ exemple s et M[n-1,n-1]: " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 37 "sol:=solve(\{eq1,eq2\},\{s,M[n-1,n-1]\});" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 39 "\311liminons les variables s et M[n-1,n-1]" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 30 "CarreMagique:=subs(sol,op(M));" }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 117 "La liste des n(n-2) variables lib res sont sur les n-1 premi\350res lignes, n-1 premi\350res colonnes de M sauf s,M[n-1,n-1]" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 1 " " }{TEXT 284 37 "Ce sont les n*(n-2) variables libres." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 37 "variables:= var minus \{s,M[n-1,n-1]\};" }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 138 "Si on veut tous les carr\351s mag iques d'une somme donn\351e s, on \351limine une autre variable \340 l a place de la variable s, par exemple M[n-1,1] " }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 111 "Ayant \351limin\351 2 autres variables, il reste ma intenant n^2-2n = n(n-2) variables libres dans CarreMagique nxn. " }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT 267 65 "Une base des carr\351s magiques nxn comp orte n(n-2) carr\351s magiques." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 14 "j:='j':i:='i':" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 176 "La mat rice identit\351 a ses n lignes lin\351airement ind\351pendantes. En i dentifiant \"variables\" avec chacune des lignes, montrons qu'on obtie nt une base pour les carr\351s magiques nxn." }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 43 " Construisons une matrice d'ordre n*(n-2) :" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 63 "id:=evalm(array(identity, 1..n*(n-2 ),1..n*(n-2))):#pour Maple V" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 52 "#id:=evalm(Matrix(n*(n-2), n*(n-2),shape=identity));" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 14 "with(student):" }}}{EXCHG {PARA 0 " > " 0 "" {MPLTEXT 1 0 167 "for i from 1 to n*(n-2) do\nequate(convert( variables,list),row(id,i..i));\nb[i]:=subs(%,op(CarreMagique));#on sub stitue les valeurs de \"variables\"\n#dans CarreMagique\nod:" }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 58 "On affiche la base des carr\351s m agiques nxn avec leur somme" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 73 "for i from 1 to n*(n-2) do\nb[i]=evalm(b[i]);\ns=sum(b[i][1,j],j=1 ..n);\nod;" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 2 "A)" }{TEXT 272 72 " \+ L'ind\351pendance lin\351aire des n(n-2) carr\351s magiques b(1)...... b(n(n-2)):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 28 "nulle:=matrix (n,n,(i,j)->0);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 49 "equate(e valm(sum(x[j]*b[j],j=1..n*(n-2))),nulle):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 34 "solve(%,\{seq(x[j],j=1..n*(n-2))\});" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 32 "Ces n(n-2) carr\351s magiques sont " }{TEXT 271 26 "lin\351aire ment ind\351pendants." }{TEXT -1 33 " Montrons qu'ils sont g\351n\351r ateurs" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 98 "La matrice CarreMagique plus haut, repr\351sente un carr\351 magique quelconque ayant n(n-2) \+ variables, " }}}{SECT 1 {PARA 263 "" 0 "" {TEXT -1 97 "La matrice Carr eMagique plus haut, repr\351sente un carr\351 magique quelconque ayant n(n-2) variables," }}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 507 "Un carr\351 magique NxN quelconque de somme s est une matrice NxN comportant n^2 \+ variables (voir matrice M plus haut) qui v\351rifient les \351quations suivantes : La somme de chaque ligne,de chaque colonne et de chacune \+ de ses 2 diagonales est s. En se servant de ces \351quations, on peut \+ \351liminer dans M, les variables qui sont sur la derni\350re ligne et la derni\350re colonne ainsi que 2 autres variables s et M(i-1,i-1) p our obtenir la matrice not\351e plus haut CarreMagique qui ne contien t plus que n(n-2) variables : " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 95 "Notre c arr\351 magique quelconque M avec ses \351quations peut toujours prend re la forme CarreMagique" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 22 "M ave c ses \351quations :" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 150 "M: =matrix(n,n,(i,j)->x[n*(i-1)+j]);\nfor i from 1 to n-1 do M[i,n]:=s-su m(M[i,k],k=1..n-1)od;for j from 1 to n do M[n,j]:=s-sum(M[k,j],k=1..n- 1)od;sol;" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 57 "Le carr\351 magique \+ contenant n(n-2) variables diff\351rentes :" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 10 "variables;" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 20 "evalm(CarreMagique);" }}}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 3 "B ) " }{TEXT 273 71 "b(1)......b(n(n-2)) sont g\351n\351rateurs l'ensemb le des carr\351s magiques NxN" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 180 "Exprimons CarreMagique comme une combinaison lin\351aire des n(n-2) \+ matrices lin\351airement ind\351pendantes b(1)......b(n(n-2)), c'est- \340-dire CarreMagique = y(1)b(1)+y(2)b(2)+...y(n)b(n)" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 63 "j:='j':equate(evalm(sum(y[j]*b[j],j =1..n*(n-2))),CarreMagique):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 34 "solve(%,\{seq(y[j],j=1..n*(n-2))\});" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 232 "Il y a une solution unique donc le carr\351 magique quelconque CarreMagique s'ex prime comme combinaison lin\351aire des carr\351s magiques b(1)...... b(n(n-2)) donc ces n(n-2) carr\351s magiques sont g\351n\351rateurs d e tous les carr\351s magiques nxn" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 4 "Donc" }{TEXT 269 67 "< b(1)......b(n(n-2))> est une base de tous le s carr\351s magiques nxn" }{TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 259 "" 0 "" {TEXT 270 14 "D'autres bases" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 236 " Rempla\347ons la matrice identit\351 par une matrice d'ordre n*(n-2) d ont le d\351terminant est <> 0 a ses n lignes lin\351airement ind\351p endantes. En identifiant \"variables\" avec chacune des lignes, on obt ient une base pour les carr\351s magiques nxn." }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 43 " Construisons une matrice d'ordre n*(n-2) :" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 57 "hasard:=randmatrix(n*(n-2), \+ n*(n-2),entries=rand(0..10));" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 189 "On peut s'assurer que les n*(n-2) lignes sont lin\351airement ind\351 pendantes avec det(hasard) <> 0 ou on peut s'assurer apr\350s coup que les n(n-2) carr\351s magiques sont lin\351airement ind\351pendants." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 138 "#Si on veut v\351rifier \+ l'ind\351pendance des lignes, il faut det(hasard)<>0\n#while det(hasar d)=0 do\n#hasard:=randmatrix(n*(n-2), n*(n-2));\n#od;" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 14 "with(student):" }}}{EXCHG {PARA 0 " > " 0 "" {MPLTEXT 1 0 171 "for i from 1 to n*(n-2) do\nequate(convert( variables,list),row(hasard,i..i));\nb[i]:=subs(%,op(CarreMagique));#on substitue les valeurs de \"variables\"\n#dans CarreMagique\nod:" }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 58 "On affiche la base des carr\351s m agiques nxn avec leur somme" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 73 "for i from 1 to n*(n-2) do\nb[i]=evalm(b[i]);\ns=sum(b[i][1,j],j=1 ..n);\nod;" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 66 "V\351rification de \+ l'ind\351pendance lin\351aire des n(n-2) carr\351s magiques" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 28 "nulle:=matrix(n,n,(i,j)->0); " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 49 "equate(evalm(sum(x[j]*b [j],j=1..n*(n-2))),nulle):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 34 "solve(%,\{seq(x[j],j=1..n*(n-2))\});" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 116 "Ces n(n-2) carr\351s magiques sont lin\351airement ind \351pendants et forment une base de l'ensemble des carr\351s magiques \+ nxn " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}}}{MARK "2 0 0 " 0 }{VIEWOPTS 1 1 0 1 1 1803 1 1 1 1 }{PAGENUMBERS 0 1 2 33 1 1 }