{VERSION 4 0 "IBM INTEL NT" "4.0" } {USTYLETAB {CSTYLE "Maple Input" -1 0 "Courier" 0 1 255 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "2D Math" -1 2 "Times" 0 1 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "2D Comment" 2 18 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 } {CSTYLE "" -1 256 "" 1 12 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 257 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 258 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 259 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 260 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 } {CSTYLE "" -1 261 "" 1 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 262 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 263 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 264 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 265 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 } {CSTYLE "" -1 266 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 267 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 268 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 269 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 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0 0 0 }{CSTYLE "" -1 325 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 } {CSTYLE "" -1 326 "" 0 14 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 327 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 328 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 329 "" 0 14 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 330 "" 0 14 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 } {CSTYLE "" -1 331 "" 1 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 332 "" 1 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 333 "" 1 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 334 "" 1 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 335 "" 1 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 } {CSTYLE "" -1 336 "" 1 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 337 "" 1 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 338 "" 1 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }{PSTYLE "Normal" -1 0 1 {CSTYLE "" -1 -1 "T imes" 1 12 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 } {PSTYLE "Heading 1" -1 3 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 18 0 0 0 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 8 4 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Heading 2" -1 4 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 14 0 0 0 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 8 2 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Maple Plot" 0 13 1 {CSTYLE "" -1 -1 " " 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }3 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 } {PSTYLE "Normal" -1 256 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 14 0 0 0 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 }3 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Normal" -1 257 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 12 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }3 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Normal" -1 258 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 14 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }3 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 } {PSTYLE "Normal" -1 259 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 14 0 0 0 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }} {SECT 0 {EXCHG {PARA 257 "" 0 "" {TEXT 285 60 "Laboratoire 9 - Ind\351 pendance lin\351aire et ensemble g\351n\351rateur" }}}{EXCHG {PARA 257 "" 0 "" {TEXT -1 52 "Par Claude St-Hilaire, claude.sthilaire@video tron.ca" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 21 "restart:with(lin alg):" }}}{SECT 1 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT 291 51 "Principales commandes \+ utilis\351es dans ce laboratoire" }}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 99 "vector, evalm, equate de la biblioth\350que student, augment, gaus selim, backsub, linsolve, gaussjord." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 69 "N ote : S\351lectionner un mot et utiliser l'aide pour plus d'informatio n" }}}}{SECT 1 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT 256 32 "Combinaison lin\351aire d e vecteurs" }{TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 141 "Une \+ combinaison lin\351aire des vecteurs v1,v2,..vn est une expression de \+ la forme x1v1 + x2v2 + ... +xnvn o\371 x1,x2,..xn sont des nombres r \351els." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 121 "v1:=vector([2, 10,-1]);v2:=vector([9,0,-18]);v3:=vector([-7,4,-9]);v4:=vector([3,7,-9 ]);v5:=vector([37/15, 10/3, -59/15]);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT 283 11 "Exemple 1) " }{TEXT -1 201 "L'ensemble des combinaisons \+ lin\351aires de v1 et v2 , x*v1 + y*v2 o\371 x et y sont des r\351els \+ repr\351sente un plan dans R^3 passant par l'origine et contenant les \+ vecteurs v1 et v2. Ce plan contient-il v5 ? " }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 25 "Regardons graphiquement :" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 254 "with(plottools):with(plots):\nflechev1:=arrow([0,0 ,0],v1,0.3,0.9,0.2,color=black):\nflechev2:=arrow([0,0,0],v2,0.3,0.9,0 .2,color=red):\nflechev5:=arrow([0,0,0],v5,0.3,0.9,0.2,color=blue):\nd isplay(flechev1,flechev2,flechev5,orientation=[-40,110],axes=boxed);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 109 "Faire tourner la figure pour v oir que les 3 vecteurs \"semblent\" dans le m\352me plan. R\351solvons alg\351briquement :" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 40 "Il faut e xprimer, si possible, v5 comme " }{TEXT 257 20 "combinaison lin\351air e" }{TEXT -1 56 " de v1 et v2. On cherche x et y tels que xv1 + yv2 = \+ v5 " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 26 "combLin:=evalm(x*v1+ y*v2);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 54 "with(student,equa te):equate(v5,combLin);# v5=x*v1+y*v2" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 15 "solve(%,\{x,y\});" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 6 " donc " }{TEXT 258 23 "v5 = (1/3)v1 + (1/5)v2." }{TEXT -1 75 " G \351om\351triquement, cela signifie que v5 est dans le m\352me plan qu e v1 et v2. " }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 17 "On peut r\351soud re " }{TEXT 259 11 "avec Gauss." }{TEXT -1 87 " Le syst\350me d'\351qu ations lin\351aires xv1 + yv2 = v5 a comme matrice augment\351e [v1,v2 | v5]" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 18 "augment(v1,v2,v5) ;" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 24 "gausselim(%);backsub(% );" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 15 "Autre mani\350re :" }{TEXT 260 18 "avec linsolve(A,b)" }{TEXT -1 68 " o\371 A est la matrice des \+ coefficients et b la colonne des constantes" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 33 "A:=augment(v1,v2);b:=augment(v5);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 14 "linsolve(A,b);" }}}{EXCHG {PARA 0 " " 0 "" {TEXT 279 10 "Exemple 2)" }{TEXT -1 151 " Exprimer, si possible , v3 comme combinaison lin\351aire de v1 et v2. On cherche x et y tels que xv1 + yv2 = v3 qui a comme matrice augment\351e [v1,v2 | v3]" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 22 "MA:=augment(v1,v2,v3);" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 14 "gausselim(MA);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 176 "La derni\350re ligne nous indique que le syst\350me est incompatible. v3 ne s'exprime pas comme combinaison l in\351aire de v1 et v2 donc v3 n' est pas dans le m\352me plan que v1 \+ et v2. " }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 64 " Maple ne retourne au cune r\351ponse donc il n'y a pas de solution." }}}{EXCHG {PARA 0 "> \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 119 "flechev3:=arrow([0,0,0],v3,0.3,0.9,0.2,color= blue):\ndisplay(flechev1,flechev2,flechev3,orientation=[45,45],axes=bo xed);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 74 "v3 (en bleu) n'est pas d ans le m\352me plan que v1 (en noir) et v2 (en rouge)" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT 287 55 "Utilisation des vecteurs pour repr\351senter des points : " }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 160 "Le vecteur OA et le point A sont le m \352me n-uple (x1,x2,...,xn) dans R^n, o\371 O est le point [0,0,...,0 ] alors convenons que le vecteur OA repr\351sente le point A. " }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT 286 10 "Exemple 3)" }{TEXT -1 149 " Soit \+ u = (1,2) et v = (3,-5). Que repr\351sente l'ensemble M des combinaiso ns lin\351aires des vecteurs u et v, x*u + y*v, si 0<= x <= 1 et 0<= y <= 1 ?" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 22 "M repr\351sente tous les " } {TEXT 288 8 "vecteurs" }{TEXT -1 214 " ayant comme origine le point (0 ,0) et comme extr\351mit\351 un point situ\351 dans le parall\351logra mme de c\364t\351s u et v, c'est-\340-dire dont l'extr\351mit\351 est \+ dans le parall\351logramme de sommets (0,0), (1,2), (3,-5), (4,-3) ) . " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 96 "On dira que M repr\351sente les poi nts du parall\351logramme de sommets (0,0), (1,2), (3,-5), (4,-3)." } }{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 152 "Alg\351briquement, comme xu + yv = x(1, 2) + y(3,-5) = (x+3y, 2x-5y) alors M repr\351sente l'ensemble des poin ts \{(x+3y, 2x-5y) | 0<= x <= 1 et 0<= y <= 1 \} " }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 29 "Repr\351sentons 1000 points de M" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 451 "u:=vector([1,2]):v:=vector([3,-5]) :\nalea:=rand(0..1000)/1000:# proc\351dure pour g\351n\350rer al\351at oirement un nombre entre 0 et 1; alea() ex\351cute la proc\351dure\npt s:=\{seq(evalm(alea()*u+alea()*v),i=1..1000)\}:#g\351n\350re 1000 comb inaisons lin\351aires \nwith(plots):GrPoints:=pointplot(pts):\nwith(pl ottools,arrow):\nvecteuru:=arrow([0,0],u,0.05,0.3,0.1,color=red):\nvec teurv:=arrow([0,0],v,0.05,0.3,0.1,color=blue):\ndisplay(vecteuru,vecte urv,GrPoints,view=[-2..5,-5..2]);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 68 "Chaque point noir correspond \340 une combinaison des vecteurs u e t v. " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT 293 10 "Exemple 4)" }{TEXT -1 146 " Dans R^3, que repr \351sente l'ensemble M des combinaisons lin\351aires des vecteurs u et v si -1<= x <=1 et -1<= y <=1 pour les vecteurs u, v suivants?" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 24 "Repr\351sentons 1000 points" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 344 "u:=vector([1,2,-1]):v:=vector([-1, 4,2]):\nalea:=rand(-50..50)/50:\npts2:=\{seq(evalm(alea()*u+alea()*v), i=1..1000)\}:\nwith(plottools,arrow):\nvecteuru1:=arrow([0,0,0],u,0.1, 0.3,0.2,color=red):\nvecteuru2:=arrow([0,0,0],v,0.1,0.3,0.2,color=blue ):\ngrPts:=pointplot3d(pts2,axes=normal,color=black):\ndisplay(vecteur u1,vecteuru2,grPts,orientation=[0,45]);" }}{PARA 13 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 70 "Faites tourner le graphiqu e pour voir que les points sont dans un plan" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 300 "Chaque \+ combinaison lin\351aire x*u + y*v o\371 -1<= x <=1 et -1<= y <=1 repr \351sente un vecteur dont l'origine est [0,0,0] et l'extr\351mit\351, \+ un point du parall\351logramme ci-haut. M repr\351sente tous les point s du parall\351logramme et \{x*u + y*v| x, y sont des r\351els\}repr \351sente le plan contenant le parall\351logramme. " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}}{SECT 1 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT 261 33 "Ind\351pendance lin\351aire de vecteurs" }}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT 262 14 "D\351finition : " }{TEXT -1 48 "Un ensemble de vecteurs \{v1, v2, v3, ...vk\} est " }{TEXT 269 24 "lin\351airement ind\351pen dant" }{TEXT -1 151 " si aucun des vecteurs v1, v2, v3, ...vk, ne s'ex prime comme combinaison lin\351aire des autres, sinon l'ensemble de ve cteurs \{v1, v2, v3, ...vk\} est dit " }{TEXT 270 23 "lin\351airement \+ d\351pendant," }{TEXT 274 17 " et dans ce cas, " }{TEXT -1 102 "il y a au moins un des vecteurs v1, v2, v3, ...vk qui s'exprime comme combin aison lin\351aire des autres." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT 268 24 "Crit\350re math\351matique : " }{TEXT -1 3 "si " }{TEXT 267 35 "x1v1 + x2v2 + x3v3 +, ...+ xnvn = 0" }{TEXT -1 3 " a " }{TEXT 263 51 "une solution unique : x1 = x2 = x3 = ... = x n = 0 " }{TEXT -1 30 "alors \{v1, v2, v3, ...vn\} est " }{TEXT 264 25 "lin\351airement ind\351pendant " }{TEXT -1 25 "sinon le syst\350me aura une" }{TEXT 265 23 " infinit\351 de solutions " }{TEXT -1 23 "et \{v1, v2, v3, ...vn\} " }{TEXT 266 27 "est lin\351airement d\351penda nt." }}}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT 296 55 "\311quivalence de la d \351finition et du crit\350re math\351matique" }}{EXCHG {PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 54 "a) Si un ensemble de vecteurs \{v1, v2, v3, ...vk\} est " }{TEXT 295 22 "lin\351airement d\351pendant" }{TEXT 297 32 ", alors , d'apr\350s la d\351finition, " }{TEXT -1 249 "il y a au moins un des vecteurs v1, v2, v3, ...vk qui s'exprime comme combinaison lin\351air e des autres. Soit vi = x1v1 + x2v2 + ...+ xkvk (vi n'est pas dans cet te somme) alors 0 = - vi + a1v1 + a2v2 + ...+akvk et en multiliant par c<>0, on a : c*0 = " }{TEXT 298 43 "0 = - c*vi + c*a1v1 + c*a2v2 + .. .+ c*akvk " }{TEXT -1 24 "qui est une solution de " }{TEXT 299 135 "x1 v1 + x2v2 + x3v3 +, ...+ xnvn = 0 pour chaque valeur de c, d'o\371 l'i nfinit\351 de solutions. Ce qui est conforme au crit\350re math\351mat ique." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 54 "b) Si un ensemble de vecteurs \{ v1, v2, v3, ...vk\} est " }{TEXT 300 24 "lin\351airement ind\351pendan t" }{TEXT 301 32 ", alors, d'apr\350s la d\351finition, " }{TEXT -1 105 "aucun des vecteurs v1, v2, v3, ...vk qui s'exprime comme combinai son lin\351aire des autres mais l'\351quation " }{TEXT 302 36 "x1v1 + \+ x2v2 + x3v3 +, ...+ xnvn = 0 " }{TEXT 303 122 "est quand m\352me v\351 rifi\351e pour x1 = x2 = x3 = ... = xn = 0. C'est la solution unique c onform\351ment au crit\350re math\351matique. " }}}{EXCHG {PARA 0 "> \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 129 "v1:=vector([3,4,-5,1]);v2:=vector([8,-9,4,12]);v3:=vector([11,0,6 ,-3]);v4:=vector([-37, -35, -8, 49]);v5:=vector([34, 6, -9,12]);" }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT 280 10 "Exemple 5)" }{TEXT -1 182 " \{v1, v2, v3 et v4\} est-il lin\351airement d\351pendant?. R\351solvons l' \351quation x1v1 + x2v2 + x3v3 + x4v4 = 0. Ce syst\350me d'\351quation s lin\351aires a comme matrice augment\351e : [v1,v2,v3 v4 | 0]" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 54 "vecnul:=vector([0,0,0,0]);au gment(v1,v2,v3,v4,vecnul);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 13 "gausselim(%);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 120 "Le syst\350 me est compatible, on a 3 pivots 3, -59/3, 673/59 et une variable libr e x4 donc on a une infinit\351 de solutions. " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 11 "backsub(%);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 5 "x1 = " }{XPPEDIT 18 0 "2*_t[1];" "6#*&\"\"#\"\"\"&%#_tG6#F%F%" } {TEXT -1 7 ", x2 = " }{XPPEDIT 18 0 "-3*_t[1];" "6#,$*&\"\"$\"\"\"&%#_ tG6#F&F&!\"\"" }{TEXT -1 8 " , x3 = " }{XPPEDIT 18 0 "5*_t[1];" "6#*& \"\"&\"\"\"&%#_tG6#F%F%" }{TEXT -1 8 " , x4 = " }{XPPEDIT 18 0 "_t[1]; " "6#&%#_tG6#\"\"\"" }{TEXT -1 34 " , ou (x1,x2,x3,x4) = t1(2,-3,5,1) " }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 59 "Donc, \{v1, v2, v3 et v4\} es t lin\351airement d\351pendant, alors " }{TEXT 271 64 "exprimons un de s vecteurs comme combinaison lin\351aire des autres." }{TEXT -1 74 " P osons _t1 = 1, on a une solution, x1= 2, x2 = -3, x3 = 5 et x4 = 1 alo rs" }{TEXT 294 26 " 2v1 - 3v2 + 5v3 + v4 = 0" }{TEXT -1 2 ". " }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 144 "On peut exprimer un des vecteurs v1,v2,v 3 ou v4 comme combinaison lin\351aire des autres vecteurs, par exemple , isoler v4 : v4 = -2v1 + 3v2 - 5v3 " }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT 281 10 "Exemple 6)" }{TEXT -1 70 " Montrons que les vecteurs v1, v2,v3,v5 sont lin\351airement ind\351pendants." }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 201 "Exprimons le vecteur nul comme combinaison lin\351a ire de v1,v2,v3,v5 donc r\351solvons l'\351quation x1v1 + x2v2 + x3v3 \+ + x4v5 = 0.Ce syst\350me d'\351quations lin\351aires a comme matrice a ugment\351e : [v1,v2,v3,v5 | 0]" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 42 "M:=augment(v1,v2,v3,v5,vector([0,0,0,0]));" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 13 "gausselim(M);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 11 "backsub(%);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 117 " Le syst\350me a comme solution unique x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0, x4 = 0 d onc \{v1,v2,v3 et v5\} est lin\351airement ind\351pendant." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 112 "Remarque : La matrice des coefficients [v1,v2,v3,v5] donne 4 pivots pour 4 col onnes dans sa matrice \351chelonn\351e. " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 272 115 "Les vecteurs-colonnes d'une matr ice A sont lin\351airement ind\351pendants si et seulement si la matri ce A \351chelonn\351e, a " }{TEXT 273 28 "un pivot sur chaque colonne. " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT 292 10 "Exemple 7)" }{TEXT -1 82 " Les matrices 2x2, A1, A2 , A3, A4 suivantes sont-elles lin\351airement ind\351pendantes?" }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 140 "Exprimons la matrice nulle comme \+ combinaison lin\351aire de A1,A2,A3,A4 donc r\351solvons l'\351quation x1A1 + x2A2 + x3A3 + x4A4 = matrice nulle 2x2" }}}{EXCHG {PARA 0 "> \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 110 "A1:=matrix(2,2,[1,2,3,4]);A2:=matrix(2,2,[2,- 2,3,5]);A3:=matrix(2,2,[7,0,6,10]);A4:=matrix(2,2,[31,10,27,43]);" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 17 "Nulle:=diag(0,0);" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 59 "with(student,equate):equate( x1*A1+x2*A2+x3*A3+x4*A4,Nulle);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 23 "solve(%,\{x1,x2,x3,x4\});" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 123 "On a une variable libre donc une infinit\351 de solutions. Les ma trices A1, A2, A3, A4 ne sont pas lin\351airement ind\351pendantes." } }}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 63 "Remarque : Si on associe le vect eur [a,b,c,d] \340 chaque matrice " }{XPPEDIT 18 0 "matrix([[a, b], [c , d]]);" "6#-%'matrixG6#7$7$%\"aG%\"bG7$%\"cG%\"dG" }{TEXT -1 84 " alo rs on peut utiliser r\351soudre le probl\350me ci-haut, avec la m\351t hode de l'exemple 5" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}} }{SECT 1 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT 275 19 "Ensemble g\351n\351rateur" } {TEXT 278 1 " " }{TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 174 " Soit v1,v2,..vk des vecteurs de R^n. Si chaque vecteur de R^n s'exprim e comme combinaison lin\351aire des vecteurs v1,v2,..vk alors on dit q ue \{v1,v2,..vk\}est g\351n\351rateur de R^n." }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT 282 10 "Exemple 8)" }{TEXT -1 27 " : \{v1,v2,v3,v4,v5\} est-i l " }{TEXT 276 10 "g\351n\351rateur" }{TEXT -1 229 " de R^4? Un vecteu r quelconque [a,b,c,d] de R^4 s'exprime-t-il comme combinaison lin\351 aire de v1,v2, v3, v4, v5, c'est-\340-dire l'\351quation x1v1 + x2v2 + x3v3 + x4v5 = (a,b,c,d) a-t-elle au moins une solution quelque soit a , b, c, d?" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 47 "v:=vector([a, b,c,d]);augment(v1,v2,v3,v4,v5,v);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 17 "GJ:=gaussjord(%);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 204 "Le syst\350me est compatible et a une variable libre alors le \+ vecteur (a,b,c,d) s'exprime d'une infinit\351 de mani\350res comme com binaison lin\351aire de v1,v2,v3,v4,v5 donc \{v1,v2,v3,v4,v5\} est g \351n\351rateur de R^4. " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 273 "Remarque : O n a vu plus haut que \{v1,v2,v3,v5\}est lin\351airement ind\351pendant . Si on enl\350ve la quatri\350me colonne correspondant \340 v4 dans l a matrice GJ, on aurait un pivot sur chaque colonne, donc une solution unique et donc \{v1,v2,v3,v5\} serait g\351n\351rateur de R^4. V\351r ifions : " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 26 "A:=augment(v1, v2,v3,v5,v);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 18 "GJ2:=gaussj ord(%);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 45 "Quelquesoit a,b,c,d, l e vecteur (a,b,c,d) = (" }{XPPEDIT 18 0 "-303*a/554+702*b/277+507*c/27 7+917*d/554;" "6#,**(\"$.$\"\"\"%\"aGF&\"$a&!\"\"F)*(\"$-(F&%\"bGF&\"$ x#F)F&*(\"$2&F&%\"cGF&F-F)F&*(\"$<*F&%\"dGF&F(F)F&" }{TEXT -1 8 ")*v1 \+ + (" }{XPPEDIT 18 0 "167/277*b-39/277*a+136/277*c+129/277*d;" "6#,**( \"$n\"\"\"\"\"$x#!\"\"%\"bGF&F&*(\"#RF&F'F(%\"aGF&F(*(\"$O\"F&F'F(%\"c GF&F&*(\"$H\"F&F'F(%\"dGF&F&" }{TEXT -1 8 ")*v2 + (" }{XPPEDIT 18 0 "1 77/277*c-73/554*a+650/831*b+767/1662*d;" "6#,**(\"$x\"\"\"\"\"$x#!\"\" %\"cGF&F&*(\"#tF&\"$a&F(%\"aGF&F(*(\"$]'F&\"$J)F(%\"bGF&F&*(\"$n(F&\"% i;F(%\"dGF&F&" }{TEXT -1 9 ")*v3 + ( " }{XPPEDIT 18 0 "-673/1662*d+85/ 554*a-514/831*b-134/277*c;" "6#,**(\"$t'\"\"\"\"%i;!\"\"%\"dGF&F(*(\"# &)F&\"$a&F(%\"aGF&F&*(\"$9&F&\"$J)F(%\"bGF&F(*(\"$M\"F&\"$x#F(%\"cGF&F (" }{TEXT -1 4 ")*v5" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 10 "Remarque: " }{TEXT 289 80 "Un ensemble de n vecteurs de R^n lin\351airement ind \351pendant est g\351n\351rateur de R^n " }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT 290 51 "Si on enl\350ve maintenant la quatri\350me colonne de GJ 2" }{TEXT -1 57 ", correspondante \340 v5, on a un syst\350me incompat ible pour " }{XPPEDIT 18 0 "-673/1662*d+85/554*a-514/831*b-134/277*c; " "6#,**(\"$t'\"\"\"\"%i;!\"\"%\"dGF&F(*(\"#&)F&\"$a&F(%\"aGF&F&*(\"$9 &F&\"$J)F(%\"bGF&F(*(\"$M\"F&\"$x#F(%\"cGF&F(" }{TEXT -1 49 " <> 0 don c \{v1,v2 v3\} n'est pas g\351n\351rateur de R^4" }}}{EXCHG {PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 88 "Trouver un vecteur de R^4 qui ne s'exprime pas com me combinaison lin\351aire de v1, v2 v3. " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 65 "subs(\{a=1,b=1,c=1,d=1\},-673/1662*d+85/554*a-514/8 31*b-134/277*c);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 79 "Le vecteur (1 ,1,1,1) ne s'exprime pas comme combinaison lin\351aire de v1, v2, v3. " }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 81 "Trouver un vecteur de R^4 qui s'exprime comme combinaison lin\351aire de v1, v2 v3. " }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 14 "Il suffit que " }{XPPEDIT 18 0 "-673/1662 *d+85/554*a-514/831*b-134/277*c" "6#,**(\"$t'\"\"\"\"%i;!\"\"%\"dGF&F( *(\"#&)F&\"$a&F(%\"aGF&F&*(\"$9&F&\"$J)F(%\"bGF&F(*(\"$M\"F&\"$x#F(%\" cGF&F(" }{TEXT -1 4 " = 0" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 61 "subs(\{a=1,b=1,c=1\},-673/1662*d+85/554*a-514/831*b-134/277*c);" } }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 15 "d=solve(%=0,d);" }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 98 "donc le vecteur (1,1,1,-1577/673) \+ s'exprime comme combinaison lin\351aire de v1, v2, v3. Exprimons-le" } }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 40 "subs(\{a=1,b=1,c=1,d=-1577 /673\},op(GJ2));" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 32 " le vecteur ( 1,1,1,-1577/673) = " }{XPPEDIT 18 0 "-41/673;" "6#,$*&\"#T\"\"\"\"$t'! \"\"F(" }{TEXT -1 4 "*v1 " }{XPPEDIT 18 0 "-93/673;" "6#,$*&\"#$*\"\" \"\"$t'!\"\"F(" }{TEXT -1 6 "*v2 + " }{XPPEDIT 18 0 "140/673;" "6#*&\" $S\"\"\"\"\"$t'!\"\"" }{TEXT -1 3 "*v3" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}}{SECT 1 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT 277 8 "Exercice" } {TEXT 284 1 "s" }{TEXT -1 1 " " }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 21 "restart:with(linalg):" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT 326 5 "No 1)" }{TEXT -1 68 " Soit les vecteurs u = (1,5) et v = (2,3). D\351cri re g\351om\351triquement :" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 327 2 "a)" }{TEXT -1 30 " \{xu + yv | x = 0, 1<= y <= 2\}" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 328 2 "b)" }{TEXT -1 37 " \{xu + yv | -1 <= x <= 1, 0<= y <= 2\}" }}} {SECT 1 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT 331 32 " Espace de travail de l'\351tudi ant" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 " " }}}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 24 "Pour les num\351ros 2 \340 6 :" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 127 "w1:=vector([-4,3,7,5]);w2:=v ector([3,2,-5,6]);w3:=vector([-5,8,14,22]);w4:=vector([-8, 23, 35, 73] );w5:=vector([1,0,-14/17,a]);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT 304 5 " No 2)" }{TEXT -1 45 " \{w1,w2,w3\} est-il lin\351airement ind\351penda nt ?" }}}{SECT 1 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT 332 32 " Espace de travail de l '\351tudiant" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT 305 1 " " }{TEXT 307 5 "No 3)" }{TEXT 308 3 " a)" }{TEXT -1 53 " Montrer que \{w1,w2,w3 \} n'est pas g\351n\351rateur de R^4. " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 306 2 "b)" }{TEXT -1 73 " Trouver un vecteur de R^4 qui n'est pas combinaiso n lin\351aire de w1,w2,w3" }}}{SECT 1 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT 333 32 " E space de travail de l'\351tudiant" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT 329 5 "No 4)" }{TEXT -1 66 " a)Pour quelle valeur de a, w5 sera \+ combinaison lin\351aire de w1,w4 " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 74 "b) p our la valeur trouv\351e, exprimer w5 comme combinaison lin\351aire de w1,w4" }}}{SECT 1 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT 334 32 " Espace de travail de l'\351tudiant" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT 313 5 "No 5)" } {TEXT 314 1 " " }{TEXT 316 3 "a) " }{TEXT 315 47 "\{w1,w2 w3,w4\} est- il lin\351airement ind\351pendant? " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 317 2 "b) " }{TEXT 318 40 " \{w1,w2 w3,w4\} est-il g\351n\351rateur de R^4?" }}} {SECT 1 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT 335 32 " Espace de travail de l'\351tudi ant" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 " " }}}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT 319 5 "No 6)" }{TEXT 320 1 " " } {TEXT 321 73 "Pour quelles valeurs de a, \{w1,w3 w4,w5\} est-il lin \351airement ind\351pendant?" }}}{SECT 1 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT 336 32 " Espace de travail de l'\351tudiant" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT 309 5 "No 7)" }{TEXT 310 1 " " }{TEXT 330 76 "Soit v1:=vector([2 ,10,-1]);v2:=vector([9,0,18]);v3:=vector([-24, -30, -33]);" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 322 2 "a)" }{TEXT -1 142 " Pour quelles valeurs de a, b, c, le vecteur [a,b,c] ne s'exprime pas comme combinaison lin\351aire \+ des vecteurs lin\351airement d\351pendants v1,v2,v3" }}{PARA 0 "" 0 " " {TEXT 323 2 "b)" }{TEXT -1 186 " Pour quelles valeurs de a, b, c, le vecteur [a,b,c] s'exprime-t-il d'une infinit\351 de fa\347ons comme c ombinaison lin\351aire des vecteurs lin\351airement d\351pendants v1,v 2,v3. Donnez-en 2 fa\347ons." }}}{SECT 1 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT 337 32 " Espace de travail de l'\351tudiant" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}}{EXCHG {PARA 259 "" 0 " " {TEXT 311 5 "No 8)" }{TEXT -1 1 " " }{TEXT 312 19 "Carr\351s magique s 3x3" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 132 "Un carr\351 magique 3x3 est une matrice 3x3 dont la somme est la m\352me pour chaque ligne, c haque colonne et chacune de ses 2 diagonales." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 28 "Voici 4 carr\351s magiques 3x3," }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 190 "A:=matrix(3,3,[1,1,1,1,1,1,1,1,1]):B:=matrix(3, 3,[0,1,-1,-1,0,1,1,-1,0]):C:=matrix(3,3,[-1,1,0,1,0,-1,0,-1,1]):E:=mat rix(3,3,[4,9,2,3,5,7,8,1,6]):A=evalm(A),B=evalm(B),C=evalm(C),E=evalm( E);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT 324 2 "a)" }{TEXT -1 47 " Exprime r E comme combinaison lin\351aire de A,B,C" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 325 2 "b)" }{TEXT -1 51 " Montrer que \{A, B, C\} est lin\351airement \+ ind\351pendant" }}}{SECT 1 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT 338 32 " Espace de tr avail de l'\351tudiant" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" } }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}}}}{MARK "2 0 0" 0 }{VIEWOPTS 1 1 0 1 1 1803 1 1 1 1 }{PAGENUMBERS 0 1 2 33 1 1 }